Квадрат. онлайн калькулятор

Оглавление

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ \( \small d \) и периметр \( \small P \) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие \( \small \frac P2>d \) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Из формулы (7) найдем \( \small b \) и подставим в (6):

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной \( \small a \):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

После вычисления \( \small a \), сторона \( \small b \) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

Действительно.

Тогда

Имеем \( \small \sqrt{D} <2d ,\) \( \small P > 2d .\) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант \( \small D \) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону \( \small b \) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:

AC = BD

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC┴BD		AO = BO = CO = DO =
2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

ДРУГОЕ

Как найти площадь квадрата?

Кто-то из нас математику в школе просто прогуливал, кто-то проболел, а кто-то подзабыл за давностью школьных лет, но…

Что такое диагональ?

Диагональ имеет геометрический смысл в математике. Диагональ выделяют в различных многоугольниках, она помогает в…

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру с равными сторонами и углами. Об этом большинство из нас знают еще со школы. А…

Что такое параллелограмм?

Параллелограмм — это геометрическая фигура, четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.…

Что такое прямоугольник?

Расскажем об одной из простейших и основных фигур в геометрии, о прямоугольнике. Что такое прямоугольник? Определение:…

Чему равен периметр квадрата?

Чему равен периметр квадрата?Сегодня трудно представить человека, который не умеет считать и манипулировать в уме…

Чему равен радиус описанной окружности?

Чему равен радиус описанной окружности?Описанной окружностью многоугольника называется такая окружность, которая…

Чему равна длина прямоугольника?

Задача на нахождение длины прямоугольника может быть сформулирована по-разному. Разберемся, как найти длины сторон…

Как найти диагональ параллелограмма?

Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, характерной особенностью которой является то, что у нее…

Как найти диагональ прямоугольника?

Задача на нахождение диагонали прямоугольника может быть сформулирована тремя разными способами. Рассмотрим подробнее…

Ромб — геометрическая фигура, которая состоит из равных и параллельных друг другу четырех сторон. Чтобы получить…

Как найти диагональ трапеции?

Прежде, чем разбираться, как найти диагональ трапеции, вспомним, что такое трапеция. В планиметрии трапецией называют…

Как найти периметр и площадь прямоугольника?

Как найти периметр и площадь прямоугольника?Прямоугольник — это геометрическая фигура, у которой все углы прямые, а…

Как найти периметр квадрата?

Квадратом называется параллелограмм с равными сторонами и прямыми углами. Как найти периметр квадрата? Периметр — это…

Очередная задачка по математике или тест на логическое мышление: как найти площадь ромба? Что же за фигура такая…

Как найти ширину прямоугольника?

Решение задач с четырехугольниками — один из наиболее обширных разделов геометрии, доставляющий школьникам немало…

Как найти сторону квадрата?

Часто в геометрии необходимо найти длину стороны квадрата, при этом известны такие его параметры: периметр, площадь,…

Как найти сторону ромба?

Как найти сторону ромба?Ромб представляет собой равносторонний параллелограмм.Свойства ромба:диагональ является…

Как вычислить площадь прямоугольника?

Одним из важнейших правил тригонометрии является вычисление площади различных фигур, поэтому многие задумываются над…

Как найти диагональ куба?

Объемные геометрические фигуры окружают нас в реальной жизни. Например, куб — это коробка, помещение или даже кубик…

Свойства квадрата

5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов

( angle BAC = angle BCA = angle CAD = angle ACD = 45^{circ} )

Квадрат является ромбом ( Rightarrow ) ( 45^{circ} ). Тогда ( angle A ), и ( angle C ) на ( 45^{circ} ).

( AO = BO = CO = DO )

( angle AOB = angle BOC = angle COD = angle AOD = 90^{circ} )

( AC = BD )

Так как квадрат это прямоугольник ( Rightarrow ) диагонали равны; так как — ромб ( Rightarrow ) диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, ( Rightarrow ) диагонали разделены точкой пересечения пополам.

9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна ( a sqrt{2} )

Доказывается по теореме Пифагора. Применим ее к ( triangle ADC ).

( AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} = a^{2} + a^{2} = 2^{2} )

Отсюда: ( AC = sqrt{2}cdot a )

Определения и соглашения

Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

d = rad2*a;
d = rad2*radS;
d = rad2*P/4;
d = 2*R;
d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.